Question

10．已知f（x）=x${\;}^{-{t}^{2}+2t+3}$為偶函數(shù)（t∈z），且在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)g（x）=log_a[a$\sqrt{f（x）}$-x]在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減函數(shù)（a＞0且a≠1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，即可求出t的值，從而求f（x）的解析式；
（2）利于換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴-t²+2t+3＞0，
即t²-2t-3＜0，得-1＜t＜3，
∵t∈z，
∴t=0，1，2，
若t=0，則f（x）=x³為奇函數(shù)，不滿足條件．
若t=1，則f（x）=x⁴為偶函數(shù)，滿足條件．
若t=2，則f（x）=x³為奇函數(shù)，不滿足條件．
故f（x）的表達(dá)式為f（x）=x⁴；
（2）∵f（x）=x⁴，
∴g（x）=log_a[a$\sqrt{f（x）}$-x]=log_a（ax²-x）
設(shè)t=ax²-x，則y=log_at，
若g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則t=ax²-x和y=log_at的單調(diào)性相反，
若a＞1，則t=ax²-x在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則對(duì)稱軸x=$-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≥4$，即a$≤\frac{1}{8}$，此時(shí)不滿足條件．
若0＜a＜1，則t=ax²-x在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則對(duì)稱軸x=$\frac{1}{2a}≤2$，且當(dāng)x=2時(shí)，t=4a-2＞0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥\frac{1}{4}}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利于換元法是解決本題的關(guān)鍵．