Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|+3a
（Ⅰ）當a=0時，寫出不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²對一切實數(shù)x恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）把a=0代入函數(shù)解析式，寫出分段函數(shù)，求解不等式f（x）≥6得答案；
（Ⅱ）利用絕對值的不等式變形，得到|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，進一步得到不等式4+3a≥a²求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，f(x)=

-4x+2，x＜- 1 2 4，- 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2，x＞ 3 2

，
∴由f（x）≥6，解得x≤-1，x≥2，
∴不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）∵|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，
當且僅當2x+1=3-2x，即x=

1

2

取等號，
∴要使不等式f（x）≥a²恒成立，
則4+3a≥a²，解得：-1≤a≤4．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了絕對值不等式的解法，是中檔題．