Question

11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₅-a₄-2a₃=0，若4a₁為a_m，a_n的等比中項(xiàng)，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)的定義列出方程組，求出q=2，m+n=6，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₅-a₄-2a₃=0，4a₁為a_m，a_n的等比中項(xiàng)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{3}+2•{a}_{1}{q}^{2}}\\{16{{a}_{1}}^{2}={a}_{1}{q}^{m-1}•{a}_{1}{q}^{n-1}}\end{array}\right.$，且q＞0，
解得q=2，m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）[$\frac{1}{6}（m+n）$]
=$\frac{1}{6}（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$
≥$\frac{1}{6}$（5+$2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式的合理運(yùn)用．