Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，（n∈N^*）
（1）求a₂、a₃，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，（n∈N^*），是否存在最大的；
正整數(shù)m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞

m

32

成立？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an+2=2an+1-an，(n∈N*)知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由此能求出a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．
（2）由a_n=10-2n≥0，解得n≤5．由此能求出S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
（3）利用列裂求和法能求出Tn+1-Tn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+1)(n+2)

＞0，由此能求出適合條件的m的最大值．

解答： （本小題共14分）
解：（1）a₂=6，a₃=4
由an+2=2an+1-an，(n∈N*)知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則d=

a4-a1

4-1

=-2．
故a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．…（4分）
（2）由a_n=10-2n≥0，解得n≤5．故
當n≤5時S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=9n-n²
…（6分）
當n＞5時S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=n2-9n+40
 

(3)由于bn= 1 n(12-an) = 1 n(2n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+1 ) ∴Tn=b1+b2+…+bn= 1 2 [(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )] = 1 2 (1- 1 n+1 )= n 2(n+1)

…（12分）
從而Tn+1-Tn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+1)(n+2)

＞0
故數(shù)列T_n是單調(diào)遞增數(shù)列，又因T1=

1

4

是數(shù)列中的最小項，
要使Tn＞

m

32

恒成立，故只需

m

32

＜T1=

1

4

成立即可，
由此解得m＜8，由于m∈Z^*，
故適合條件的m的最大值為7．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查適合條件的m的最大值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．