Question

8．若存在M，使任意x∈D（D為函數(shù)f（x）的定義域），都有|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）有界，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{x}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上是否有界？

Answer 1

分析 首先，結(jié)合三角函數(shù)的值域，對給定的函數(shù)取絕對值，然后，轉(zhuǎn)化尋找|$\frac{1}{x}$|的取值范圍，從而求解問題．

解答 解：∵|sin$\frac{1}{x}$|≤1，
∴|f（x）|=|$\frac{1}{x}$sin$\frac{1}{x}$|≤|$\frac{1}{x}$|．
∵x∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴在此范圍內(nèi)，無法找到一個正數(shù)M，使得|$\frac{1}{x}$|≤M．
故該函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)沒有界．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、有界的概念等知識，屬于中檔題．