Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式直接利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=a_n+1，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由a_n+1-a_n=2ⁿ ，且a₁=1，
得${a}_{2}-{a}_{1}={2}^{1}$，${a}_{3}-{a}_{2}={2}^{2}$，${a}_{4}-{a}_{3}={2}^{3}$，…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={2}^{n-1}$（n≥2），
累加得：${a}_{n}={a}_{1}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}$=$1+2+…+{2}^{n-1}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$（n≥2），
當(dāng)n=1時，上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$；
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ-1+1=2ⁿ，
∴T_n =2¹+2²+…+2ⁿ=$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．