Question

12．將函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{4}x）cos（\frac{1}{4}x）+{cos^2}（\frac{1}{4}x）-\frac{1}{2}$的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{ω}$（ω＞0）倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，已知函數(shù)y=g（x）是周期為π的偶函數(shù)，則ω，φ的值分別為（　　）

• A． 4，$\frac{π}{3}$
• B． 4，$\frac{2π}{3}$
• C． 2，$\frac{π}{3}$
• D． 2，$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、周期性求得ω，φ的值．

解答 解：將函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{4}x）cos（\frac{1}{4}x）+{cos^2}（\frac{1}{4}x）-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位，
可得y=sin[$\frac{1}{2}$（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{φ}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{ω}$（ω＞0）倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（$\frac{x}{2}$ω+$\frac{φ}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象．
∵已知函數(shù)y=g（x）是周期為π的偶函數(shù)，∴$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，且$\frac{1}{2}$φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．
求得ω=4，φ=$\frac{2π}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦、余弦函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．