Question

8．將函數(shù)f（x）=cos2x（x∈R）的圖象沿向量$\overrightarrow{a}$平移后，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]內(nèi)單調(diào)遞增，且在該區(qū)間的最大值為1，則向量$\overrightarrow{a}$可能是（　�。�

• A． （-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性以及定義域和值域，逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：把將函數(shù)f（x）=cos2x（x∈R）的圖象沿向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
平移后，可得y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{5π}{3}$]，
所得函數(shù)y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）為增函數(shù)，
且當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
滿足條件，故A適合題意．
把將函數(shù)f（x）=cos2x（x∈R）的圖象沿向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）
平移后，可得y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
所得函數(shù)y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$為減函數(shù)，最大值為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，不滿足條件，故排除B．
把將函數(shù)f（x）=cos2x（x∈R）的圖象沿向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）平移后，可得y=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的圖象，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x-$\frac{2π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
所得函數(shù)y=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$為減函數(shù)，最大值為1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，不滿足條件，故排除C．
把將函數(shù)f（x）=cos2x（x∈R）的圖象沿向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{π}{3}$，$\frac{3}{2}$）平移后，可得y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的圖象，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
所得函數(shù)y=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{3}{2}$為減函數(shù)，最大值為$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，不滿足條件，故排除D，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．