Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點P（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將P（2，1）代入橢圓方程，利用離心率，構(gòu)造方程組，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與橢圓C聯(lián)立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦長公式求出AB，P到AB的距離，然后求解三角形的面積，求出最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵橢圓C經(jīng)過點P（2，1），離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1\\ \frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=8\\^{2}=2\end{array}\right.$，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率存在時，直線l，y=kx．
設(shè)直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，可得 （4k²+1）x²=8，x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-8}{1+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{32}{1+4{k}^{2}}}$，
P到AB 的距離為：d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{32}{1+4{k}^{2}}}×\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{\frac{2（2k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{1+4{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}×$$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$，
∵$\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|≥4$，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴2$\sqrt{2}×$$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$=2$\sqrt{2}×\sqrt{1+\frac{4}{-\frac{1}{k}-4k}}$≤$2\sqrt{2}×\sqrt{1+1}$=4，此時k=-$\frac{1}{2}$．
△PAB面積的最大值為：4．

點評 本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．