Question

8．已知函數(shù)y=a-bcos（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為3，最小值為-1．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=4asin（bx-$\frac{π}{3}$），求方程g（x）-2=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]上所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的最大值為a+|b|=3，最小值為a-|b|=-1，求得a、b的值．
（2）本題即求函數(shù)y=4sin（bx-$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答 解：（1）由于函數(shù)y=a-bcos（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為a+|b|=3，最小值為a-|b|=-1，
求得a=1，|b|=2，∴a=1，b=2； 或a=1，b=-2．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=4sin（bx-$\frac{π}{3}$），方程g（x）-2=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]上所有根之和，
即函數(shù)y=4sin（bx-$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
當(dāng)b=2時(shí)，令t=2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，x=$\frac{t}{2}$+$\frac{π}{6}$，本題即求y=4sint的圖象和直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
如圖所示，
∵t₁+t₂=π，∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$．
當(dāng)b=-2時(shí)，令t=-2x-$\frac{π}{3}$∈[-2π，-$\frac{2π}{3}$]，x=-$\frac{t}{2}$-$\frac{π}{6}$，本題即求y=4sint的圖象和直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
如圖所示，
∵t₁+t₂=-3π，∴x₁+x₂=$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．