Question

9．如圖，平面PBA⊥平面ABCD，∠DAB=90°，PB=AB，BF⊥PA，點E在線段AD上移動．
（Ⅰ）當點E為AD的中點時，求證：EF∥平面PBD；
（Ⅱ）求證：無論點E在線段AD的何處，總有PE⊥BF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可證F是PA的中點，連接EF，由中位線的性質(zhì)可得EF∥PD，又EF?平面PBD，PD?平面PBD，由判定定理即可證明EF∥平面PBD．
（Ⅱ）只要證明DA⊥BF，BF⊥PA，從而證明BF⊥面PDA，又PE?平面PDA，所以無論點E在線段AD的何處，總有PE⊥BF．

解答 證明：（Ⅰ）因為在三角形PBA中，PB=AB，BF⊥PA，
所以F是PA的中點，連接EF，…（2分）
在△PDA中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，PA的中點，
所以EF∥PD…（4分）
又EF?平面PBD，PD?平面PBD
所以EF∥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）因為平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面ABCD=AB，∠DAB=90°，DA⊥AB，DA?平面ABCD
所以DA⊥平面PBA…（8分）
又BF?平面PBA，所以DA⊥BF，又BF⊥PA，PA∩DA=A，PA，DA?平面PDA，
所以BF⊥面PDA…（10分）
又PE?平面PDA所以BF⊥PE
所以無論點E在線段AD的何處，總有PE⊥BF．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．