Question

16．求證：
（1）1+tan²α=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$；
（2）tan²αsin²α=tan²α-sin²α；
（3）sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α；
（4）$\frac{1-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式選擇從左往右，或從右往左證明可得．

解答 證明：（1）左邊=1+tan²α=1+$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$=右邊；
（2）右邊=tan²α-sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$-sin²α=$\frac{si{n}^{2}α（1-co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}αsi{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=tan²αsin²α=左邊；
（3）左邊=sin⁴α+cos⁴α+2sin²αcos²α-2sin²αcos²α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α=右邊；
（4）左邊=$\frac{1-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{（cosx-sinx）^{2}}{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}$=$\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$=$\frac{\frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cosx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$=右邊．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，熟練應(yīng)用三角函數(shù)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．