Question

7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，AA₁⊥底面ABC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC₁的中點(diǎn)．下列命題正確的是①②③⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①EF∥平面ACC₁A₁；
②平面CEF⊥平面 ABB₁A₁；
③平面CEF截該三棱柱所得大小兩部分的體積比為11：1；
④若該三棱柱有內(nèi)切球，則AB=$\sqrt{3}$BB₁；
⑤若BB₁上有唯一點(diǎn)G，使得A₁G⊥CG，則BB₁=$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 由條件利用直線和平面平行的判定定理，可得①正確；由條件利用平面和平面平行的判定定理可得②正確；用分割法求幾何體的體積，可得③正確；設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則棱AA₁ 到平面BCC₁B₁的距離等于2r，且也等于原棱柱的高，求得$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=BB₁，可得④不正確；根據(jù)以A₁C 為直徑的球和棱BB₁相切，求得BB₁=$\sqrt{2}$AB，故⑤正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，由題意可得，EF為△BAC₁的中位線，故有EF∥AC₁，而AC₁?平面 ABB₁A₁，EF?平面 ABB₁A₁，∴EF∥平面ACC₁A₁，故①正確．
對(duì)于②，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁⊥平面ABC，平面 ABB₁A₁∩ABC=AB，CE⊥AB，CE?平面ABC，∴CE⊥平面 ABB₁A₁．
再根據(jù)CE平面CEF，可得平面CEF⊥平面 ABB₁A₁，故②正確．
對(duì)于③，平面CEF截該三棱柱所得大小兩部分，設(shè)原棱柱的高為x，底面積為s，則較小的部分為三棱錐F-BCE，它的體積為 $\frac{1}{3}$S_△BCE•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$s•$\frac{x}{2}$，
故較大部分的體積sx=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$s•$\frac{x}{2}$=$\frac{11}{12}$sx，故平面CEF截該三棱柱所得大小兩部分的體積比為11：1，故③正確．
對(duì)于④，若該三棱柱有內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則棱AA₁ 到平面BCC₁B₁的距離等于2r，且原棱柱的高也都等于2r，
故有2r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=BB₁，故④不正確．
對(duì)于⑤，若BB₁上有唯一點(diǎn)G，使得A₁G⊥CG，則以A₁C 為直徑的球和棱BB₁相切，故求得半徑$\frac{{A}_{1}C}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
即 $\frac{\sqrt{{{BB}_{1}}^{2}{+AB}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，化簡(jiǎn)可得BB₁=$\sqrt{2}$AB，故⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線和平面平行、垂直的判定、性質(zhì)，平面和平面平行的判定定理，用分割法求幾何體的體積，以及點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．