Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1），a₁=2，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=$\sqrt{\frac{2}{_{n}+1}}$，{c_n}的前n項和為T_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明T_n≥$\sqrt{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1）得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=2，繼而得到{b_n}是首項為b₁=$\frac{1}{2-1}$=1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由數(shù)學(xué)歸納法和分析法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）由（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1）得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=2，
即b_n+1-b_n=2，
∴{b_n}是首項為b₁=$\frac{1}{2-1}$=1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=1+2（n-1）=2n-1，c_n=$\sqrt{\frac{2}{_{n}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
①當(dāng)n=1時，則有T₁=1有T₁≥$\frac{1}{\sqrt{1}}$=1成立；      
②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即T_k≥$\sqrt{k}$成立，
則當(dāng)n=k+1時，T_k+1=T_k+c_k+1=$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≥$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，
欲證$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≥$\sqrt{k+1}$，
只須證$\sqrt{k}•\sqrt{k+1}$+1≥k+1，
即證$\sqrt{k（k+1）}$≥k，即證$\sqrt{k+1}$≥$\sqrt{k}$，即證1≥0，而此式成立
故當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
故有T_n≥$\sqrt{n}$（n∈N^*）．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．