Question

20．已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=（a-1）•4^x．

Answer 1

分析 （1）由解析式令log₂x=t即x=2^t，代入解析式化簡求出f（t），將t化為x可得f（x）的解析式；
（2）由（1）化簡f（x）=（a-1）•4^x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論，分別由指對互化的式子求出x的表達(dá)式．

解答 解：（1）令log₂x=t即x=2^t，則f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R
（2）由f（x）=（a-1）•4^x得：a•2^2x-2•2^x+1-a=（a-1）•4^x，
化簡得，2^2x-2•2^x+1-a=0，即（2^x-1）²=a，
當(dāng)a＜0時，方程無解；
當(dāng)a≥0時，解得${2^x}=1±\sqrt{a}$，
所以若0≤a＜1，則$x={log_2}（1±\sqrt{a}）$，
若a≥1，則$x={log_2}（1+\sqrt{a}）$．

點(diǎn)評 本題考查利用換元法求函數(shù)的解析式，指對互化、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．