Question

8．已知A，B，C是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的三個(gè)點(diǎn)，AB過原點(diǎn)，AC經(jīng)過右焦點(diǎn)F，若BF⊥AC且
|BF|=|CF|，則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 設(shè)左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四邊形AFBF′為矩形，設(shè)AF=m，由雙曲線的定義可得FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，分別在直角△ACF′和FAF′中，運(yùn)用勾股定理，計(jì)算即可得到a，b的關(guān)系，進(jìn)而得到漸近線方程．

解答 解：設(shè)左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，CF′，
由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，
可得四邊形AFBF′為矩形，
設(shè)AF=m，則FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，
（m+2a）²+（2a+2m）²=（m+4a）²，解得m=a，在直角△FAF′中，
AF²+AF′²=FF′²，即a²+（3a）²=（2c）²，
即4c²=10a²，即c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．