Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{2-lgb_n}的前n項(xiàng)和為T_n，問：n為何值時(shí)，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．知S_n+1=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1），利用迭代法能求出an=an
（2）得出b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{3a-1}{a-1}$$-\frac{2}{a-1}$•a^1-n，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)得出必需滿足$\frac{3a-1}{a-1}$=0，即可求解a的值．
（3）C_n=2-lgb_n=2-nlg3，可判斷{C_n}為等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)得出c₆＞0，c₇＜0，可判斷當(dāng)n=6時(shí)，T₆最大，求解即可得出T_n的值．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
∴S_n+1=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-1），
從而a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1），得a₁=a．
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，故a_n=aⁿ．
（2）∵a_n=aⁿ，S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
∴b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{3a-1}{a-1}$$-\frac{2}{a-1}$•a^1-n，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=常數(shù)，
必需滿足$\frac{3a-1}{a-1}$=0，即a=$\frac{1}{3}$．
（3）根據(jù)（2）得出b_n=3ⁿ，
∴C_n=2-lgb_n=2-nlg3，可判斷{C_n}為等差數(shù)列，公差為-lg3，單調(diào)遞減數(shù)列．
數(shù)列{2-lgb_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{n（4-（n+1）lg3）}{2}$
c₆=2-6×lg3＞0，c₇=2-7×lg3＜0，
可知：當(dāng)n=6時(shí)，T₆最大為$\frac{6×[4-7lg3]}{2}$=12-21lg3

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，不等式求解即可解決問題．