Question

3．若α，β∈（0，π），求滿足cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$的α，β的值．

Answer 1

分析 構(gòu)造向量$\overrightarrow{a}$=（ 1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），則可求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow$|²，由（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²2≤|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow$|²，整理得 （cosβ-$\frac{1}{2}$）²≤0，解得cosβ，結(jié)合范圍即可得解．

解答 解：原等式化為（ 1-cosβ）cosα+sinβsinα=$\frac{3}{2}$-cosβ ①
構(gòu)造向量$\overrightarrow{a}$=（ 1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（ 1-cosβ）cosα+sinβsinα=$\frac{3}{2}$-cosβ，
|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow$|²=[（1-cosβ）²+sin²β]•[cos²α+sin²α]=2-2cosβ，
因 （$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²2≤|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow$|²，
于是有 （$\frac{3}{2}$-cosβ）²≤2-2cosβ，
整理得 （cosβ-$\frac{1}{2}$）²≤0，
∴cosβ=$\frac{1}{2}$．
又 β∈（0，π），
∴β=$\frac{π}{3}$．
同理可得α=$\frac{π}{3}$．

點評 對于某些三角問題，若能合理地構(gòu)造向量，利用向量來解，往往可使問題得到快捷方便地解決，本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于難題．