Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2ax+{a}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，其中a∈R，在x∈[0，+∞）上存在最大值和最小值，則a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．．

Answer 1

分析 先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值取得的條件，然后可求a的范圍．

解答 解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=$\frac{-2（x+a）（ax-1）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$                        
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，不合題意．         
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=$\frac{1}{a}$，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f（$\frac{1}{a}$）=a²＞0．
設(shè)x₀為f（x）的零點(diǎn)，易知x₀=$\frac{1-2{a}^{2}}{2a}$，且＜$\frac{1}{a}$．
從而x＞x₀時(shí)，f（x）＞0；x＜x₀時(shí)，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時(shí)，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，則a的取值范圍是（0，1]．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時(shí)，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．             
故答案為：（-∞，-1]∪（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，屬于難題．