Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程．
（2）記Q的軌跡的方程為E，曲線E與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的方程．利用點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．然后求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）（法一）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)個(gè)數(shù)，求出k即可．
（法二）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法求解即可．

解答 解：（1）依題意知，直線l的方程為：x=-1．點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線-----（1分）
∴|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．
∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|-----（3分）
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y²=4x（x＞0）-----（5分）
（2）（法一）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意知，k≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$有，$y=k\frac{y^2}{4}-2$
即ky²-4y-8=0，-----（7分）
∴${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，-----（8分）
又$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2$，∴k=1-----（10分）
又當(dāng)k=1時(shí)，△=16+32k＞0，所以k=1滿足題意，-----（11分）
∴k的值是1-----（12分）
（法二）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}^2=4{x_1}}\\{{y_2}^2=4{x_2}}\end{array}}\right.$，-----（6分）
兩式相減有${y_1}^2-{y_2}^2=4（{x_1}-{x_2}）$，
∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，-----（9分）
又$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2$，-----（11分）
則k=1-----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．