Question

19．已知數(shù)列前n項和S_n=（k-2）+ka_n，其中n∈N^*，k＞1且k≠2．
（I）證明：{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng){a_n}是遞增數(shù)列時，試確定k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列前n項和S_n=（k-2）+ka_n，其中n∈N^*，k＞1，k≠2，當(dāng)n=1時，a₁=k-2+ka₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡即可得出．
（II）當(dāng)1＜k＜2時，a₁＞0，公比q=$\frac{k}{k-1}$＞1，此時{a_n}是遞增數(shù)列．當(dāng)2＜k時，a₁＜0，公比q＞1，此時{a_n}是遞減數(shù)列．即可得出．

解答 （I）證明：∵數(shù)列前n項和S_n=（k-2）+ka_n，其中n∈N^*，k＞1，k≠2，∴當(dāng)n=1時，a₁=k-2+ka₁，解得a₁=$\frac{k-2}{1-k}$．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（k-2）+ka_n-[k-2+ka_n-1]，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{k}{k-1}$＞0．
∴{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{k-2}{1-k}$，公比為$\frac{k}{k-1}$．
（II）解：當(dāng)1＜k＜2時，a₁=$\frac{k-2}{1-k}$＞0，公比q=$\frac{k}{k-1}$=1+$\frac{1}{k-1}$＞1，此時{a_n}是遞增數(shù)列．
當(dāng)2＜k時，a₁=$\frac{k-2}{1-k}$＜0，公比q=$\frac{k}{k-1}$＞1，此時{a_n}是遞減數(shù)列．
∴當(dāng){a_n}是遞增數(shù)列時，k的取值范圍是（1，2）．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、分類討論方法、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．