Question

7．設(shè)點P（x，y）經(jīng)過變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=x-2y}\end{array}\right.$（*）變?yōu)辄cQ（x′，y′）．
（1）點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）經(jīng)過變換變?yōu)辄cQ₁（x′₁，y′₁），Q₂（x′₂，y′₂），試探索線段長度|P₁P₂|與|Q₁Q₂|之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)變換（*）后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．
（3）可以證明，作為點的集合，直線，射線，線段和角經(jīng)過變換（*）依次仍變?yōu)橹本�、射線、線段和角，設(shè)點P₁，P₂，P₃不在一直線上，∠P₁P₂P₃經(jīng)變換（*）變?yōu)椤螿₁Q₂Q₃，問是否總有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”？請簡述主要理由．

Answer 1

分析 （1）利用兩點之間的距離的距離公式可得：|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，|Q₁Q₂|=$\sqrt{（{x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}）^{2}+（{y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}）^{2}}$=$\sqrt{5}$|P₁P₂|．
（2）假設(shè)存在這樣的直線：當斜率存在時，直線方程為：y=kx+b，它上面的任一點（x，y）經(jīng)變換（*）后得到的點（x′，y′）仍在該直線上．則y′=kx′+b，即x-2y=k（2x+y）+b，化為（2k-1）x+（k+2）y+b=0，與直線kx-y+b=0比較可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k-1=k}\\{k+2=-1}\end{array}\right.$，解出即可判斷出結(jié)論．當斜率不存在時，同理可以判斷出結(jié)論．
（2）設(shè)點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），Q_i$（{x}_{i}^{′}，{y}_{i}^{′}）$（i=1，2，3），利用斜率計算公式與變換公式、夾角公式計算即可判斷出．

解答 解：（1）|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，|Q₁Q₂|=$\sqrt{（{x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}）^{2}+（{y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}）^{2}}$=$\sqrt{（2{x}_{1}+{y}_{1}-2{x}_{2}-{y}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-2{y}_{1}-{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，
∴|Q₁Q₂|=$\sqrt{5}$|P₁P₂|．
（2）假設(shè)存在這樣的直線：當斜率存在時，直線方程為：y=kx+b，它上面的任一點（x，y）經(jīng)變換（*）后得到的點（x′，y′）仍在該直線上．
則y′=kx′+b，即x-2y=k（2x+y）+b，化為（2k-1）x+（k+2）y+b=0，與直線kx-y+b=0比較可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k-1=k}\\{k+2=-1}\end{array}\right.$，此方程無解，此時假設(shè)不成立；
當斜率不存在時，直線方程為：x=b，它上面的任一點（x，y）經(jīng)變換（*）后得到的點（x′，y′）仍在該直線上．
則x′=2x+y=b，由于y的任意性可知：此時假設(shè)不成立．
綜上可得：不存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)變換（*）后得到的點仍在該直線上．
（2）設(shè)點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），Q_i$（{x}_{i}^{′}，{y}_{i}^{′}）$（i=1，2，3），
不妨假設(shè)角的兩邊所在直線斜率存在，${k}_{{P}_{2}{P}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k₁，${k}_{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{{y}_{3}-{y}_{2}}{{x}_{3}-{x}_{2}}$=k₂．假設(shè)P₂P₁為始邊，P₂P₃為終邊．
則tan∠P₁P₂P₃=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$．
變換（*）變?yōu)椤螿₁Q₂Q₃，問是否總有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”？請簡述主要理由．
則${k}_{{Q}_{2}{Q}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{′}-{y}_{1}^{′}}{{x}_{2}^{′}-{x}_{1}^{′}}$=$\frac{{x}_{2}-2{y}_{2}-（{x}_{1}-2{y}_{1}）}{2{x}_{2}+{y}_{2}-（2{x}_{1}+{y}_{1}）}$=$\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$，同理可得：${k}_{{Q}_{2}{Q}_{3}}$=$\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}$．
tan∠Q₁Q₂Q₃=$\frac{\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}-\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}}{1+\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}•\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}}$=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$=-tan∠P₁P₂P₃．
因此不是總有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”．

點評 本題考查了兩點之間的距離的距離公式、斜率計算公式、夾角公式、變換公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．