Question

17．在平面直角坐標(biāo)系上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多條直線l₁，l₂，…，l_n，…的直線族，它滿足條件：①點(diǎn)（1，1）∈l_n，（n=1，2，3，…）；②k_n+1=a_n-b_n，其中k_n+1是l的斜率，a_n和b_n分別是l_n在x軸和y軸上的截距，（n=1，2，3，…）；③k_nk_n+1≥0，（n=1，2，3，…），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 在平面直角坐標(biāo)系上，不存在滿足條件的一個(gè)含有無(wú)窮多條直線l₁，l₂，…，l_n，…的直線族．設(shè)a_n=b_n≠0，即k_n-1=-1，或a_n=b_n=0，推導(dǎo)出k₁＞1或k₁＜-1．由此分類討論，能證明這樣的直線族不存在．

解答 解：在平面直角坐標(biāo)系上，不存在滿足條件的一個(gè)含有無(wú)窮多條直線l₁，l₂，…，l_n，…的直線族．
證明如下：
設(shè)a_n=b_n≠0，即k_n-1=-1，或a_n=b_n=0，即k_n=1，就有k_n+1=0，此時(shí)a_n+1不存在，
故k_n≠±1，
設(shè)k_n≠0，1，則y=k_n（x-1）+1，得b_n=1-k_n，
∴${k}_{n+1}={k}_{n}-\frac{1}{{k}_{n}}$，此時(shí)${k}_{n}{k}_{n+1}={{k}_{n}}^{2}$-1，
∴k_n＞1或k_n＜-1，從而k₁＞1或k₁＜-1．
（1）當(dāng)k₁＞1時(shí)，由于$0＜\frac{1}{{k}_{1}}＜1$，故${k}_{1}＞{k}_{2}={k}_{1}-\frac{1}{{k}_{1}}＞0$，
若k₂＞1，則k₁＞k₂＞k₃＞0，依此類推，知當(dāng)k_n＞1時(shí)，有k₁＞k₂＞k₃＞…＞k_n＞k_n+1＞0，
且$0＜\frac{1}{{k}_{1}}＜\frac{1}{{k}_{2}}＜…＜\frac{1}{{k}_{n}}＜1$，
${k}_{n+1}={k}_{n}-\frac{1}{{k}_{n}}＜{k}_{n}-\frac{1}{{k}_{1}}$=${k}_{n-1}-\frac{1}{{k}_{n-1}}-\frac{1}{{k}_{1}}$$＜{k}_{n-1}-\frac{2}{{k}_{1}}＜…＜{k}_{1}-\frac{n}{{k}_{1}}$
由于${k}_{1}-\frac{n}{{k}_{1}}$隨n的增大而線性減小，故必存在一個(gè)n值，n=n₀，使${k}_{1}-\frac{{n}_{0}}{{k}_{1}}≤1$，
從而必存在一個(gè)n值，n=n_x≤n₀，使${k}_{{n}_{x}-1}≥1$，
而1》${k}_{{n}_{x}}={k}_{{n}_{x}}$-1-$\frac{1}{{k}_{{n}_{x}}-1}$＞0，
此時(shí)${k}_{{n}_{x}}•{k}_{{n}_{x}+1}＜0$，
即此時(shí)不存在這樣的直線族．
（2）當(dāng)k₁＜-1時(shí)，同樣有-1＜$\frac{1}{{k}_{1}}$＜0，得${k}_{1}＜{k}_{2}={k}_{1}-\frac{1}{{k}_{1}}＜0$，
若k₂＜-1，雙有k₁＜k₂＜k₃＜0，
依此類推，知當(dāng)k_n＜-1時(shí)，e k₁＜k₂＜k₃＜…＜k_n＜k_n+1＜0，
且0＞$\frac{1}{{k}_{1}}＞\frac{1}{{k}_{2}}＞…＞\frac{1}{{k}_{n}}＞-1$，
${k}_{n+1}={k}_{n}-\frac{1}{{k}_{n}}＞{k}_{n}-\frac{1}{{k}_{1}}$=${k}_{n-1}-\frac{1}{{k}_{n-1}}-\frac{1}{{k}_{1}}$＞${k}_{n-1}-\frac{2}{{k}_{1}}＞…＞{k}_{1}-\frac{n}{{k}_{1}}$，
由于${k}_{1}-\frac{m}{{k}_{m}}$隨m的增大而線性增大，故必存在在一個(gè)m值，使m=m₀，使${k}_{1}-\frac{{m}_{0}}{{k}_{1}}≥-1$，
從而必存在一個(gè)m值，m=m₁，（m₁≤m₀），使${k}_{{m}_{1}-1}≤-1$，
而-1≤${k}_{{m}_{1}-1}$≤-1，而-1＜${k}_{{m}_{1}}={k}_{{m}_{1}}-\frac{1}{{k}_{{m}_{1}}-1}＜0$，
此時(shí)，${{k}_{{m}_{1}}}^{2}\frac{1}{{k}_{{m}_{1}+1}}$＜0，
即此時(shí)不存在這樣的直線族．
綜上，這樣的直線族不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的直線族是否存在的判斷與證明，綜合性質(zhì)強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．