Question

2．已知函數$f（x）=\frac{（x+1）（x+a）}{x^2}$為偶函數
（1）求實數a的值；
（2）當$x∈[\frac{1}{m}，\frac{1}{n}]（m＞0，n＞0）$時，若函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質建立方程關系進行求解即可．
（2）根據函數的解析式判斷函數的單調性，結合函數的值域建立方程關系進行求解即可．

解答 解：∵函數$f（x）=\frac{（x+1）（x+a）}{x^2}$=$\frac{{x}^{2}+（1+a）x+a}{{x}^{2}}$為偶函數，
∴f（-x）=f（x），即$\frac{{x}^{2}-（1+a）x+a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（1+a）x+a}{{x}^{2}}$，
即1+a=0，得a=-1．
（2）當a=-1時，f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，則函數在（0，+∞）為增函數，
當$x∈[\frac{1}{m}，\frac{1}{n}]（m＞0，n＞0）$時，若函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{m}）=1-{m}^{2}=2-3m}\\{f（\frac{1}{n}）=1-{n}^{2}=2-3n}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3m+1=0}\\{{n}^{2}-3n+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3±\sqrt{5}}{2}}\\{n=\frac{3±\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∵0＜$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{n}$
∴m＞n，
則m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性和值域的關系，根據條件求出函數的解析式，結合函數單調性和值域間的關系是解決本題的關鍵．