Question

16．已知直線l的斜率為1，且與圓C：（x-3）²+（y-4）²=4相交，截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求直線l的方程；
（2）設Q點的坐標為（2，3），且動點M到圓C的切線長與|MQ|的比值為實數k（k＞0），若動點M的軌跡方程是圓，試確定k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為y=x+b，由圓心C到直線l的距離為$\sqrt{2}$，可得$\frac{|3-4+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，由此求得b的值，可得直線l的方程．
（2）（2）設動點M（x，y），則由題意可得$\frac{\sqrt{{MC}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，x²+y²+$\frac{6-{4k}^{2}}{{k}^{2}-1}$x+$\frac{8-{6k}^{2}}{{k}^{2}-1}$y+$\frac{1{3k}^{2}-9}{{k}^{2}-1}$=0，再根據圓的一般那方程的特征，求得k的范圍．

解答 解：（1）圓C：（x-3）²+（y-4）²=4的圓心為C（3，4）、半徑為2，
由弦長為2$\sqrt{2}$，可得圓心C到直線l的距離為$\sqrt{2}$．
設直線l的方程為y=x+b，由$\frac{|3-4+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，求得b=3 或b=0，
故直線l的方程為x-y+3=0，或 x-y=0．
（2）設動點M（x，y），則由題意可得$\frac{\sqrt{{MC}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，即$\frac{\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-4）}^{2}-4}}{\sqrt{{（x-2）}^{2}{+（y-3）}^{2}}}$=k，
化簡可得 （k²-1）•x²+（k²-1）•y²+（6-4k²）x+（8-6k²）y+13k²-9=0，
即 x²+y²+$\frac{6-{4k}^{2}}{{k}^{2}-1}$x+$\frac{8-{6k}^{2}}{{k}^{2}-1}$y+$\frac{1{3k}^{2}-9}{{k}^{2}-1}$=0．
若動點M的軌跡方程是圓，則 ${（\frac{6-{4k}^{2}}{{k}^{2}-1}）}^{2}$+${（\frac{8-{6k}^{2}}{{k}^{2}-1}）}^{2}$-4•$\frac{{13k}^{2}-9}{{k}^{2}-1}$＞0，
求得-$\frac{8}{\sqrt{83}}$＜k＜$\frac{8}{\sqrt{83}}$．

點評 本小題主要考查直線與圓的位置關系，弦長公式的應用，圓的一般式方程，屬于中檔題．