【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在處的切線與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:存在實(shí)數(shù)使.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)題意可得處的切線的斜率為2,從而求得a(2)對(duì)于存在問題可根據(jù)題意賦值驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),顯然有,即存在實(shí)數(shù)使;當(dāng)時(shí)分析函數(shù)單調(diào)性,得函數(shù)最小值,若最小值小于1即得證
試題解析:
(Ⅰ),
因?yàn)榍在處的切線與直線垂直,
所以切線的斜率為2,
所以,
所以.
(Ⅱ)法1:當(dāng)時(shí),顯然有,即存在實(shí)數(shù)使;
當(dāng)時(shí),由可得,
所以在時(shí), ,所以函數(shù)在上遞減;
時(shí), ,所以函數(shù)在上遞增
所以 是的極小值.
由函數(shù)可得,
由可得,
所以,
綜上,若,存在實(shí)數(shù)使.
(Ⅱ)法2:當(dāng)時(shí),顯然有,即存在實(shí)數(shù)使;
當(dāng)時(shí),由可得,
所以在時(shí), ,所以函數(shù)在上遞減;
時(shí), ,所以函數(shù)在上遞增.
所以 是的極小值.
設(shè),則,令,得
+ | 0 | - | |
↗ | 極大值 | ↘ |
所以當(dāng)時(shí),
所以,
綜上,若,存在實(shí)數(shù)使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在實(shí)數(shù)集上的圖象是連續(xù)不斷的,且對(duì)任意實(shí)數(shù)存在常數(shù)使得恒成立,則稱是一個(gè)“關(guān)于函數(shù)”.現(xiàn)有下列“關(guān)于函數(shù)”的結(jié)論:
①常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于函數(shù)”;
②正比例函數(shù)必是一個(gè)“關(guān)于函數(shù)”;
③“關(guān)于函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn);
④是一個(gè)“關(guān)于函數(shù)”.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn) (n∈N*)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使得Tn<對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.
整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以為組距分成組: , , , , , ,得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:
B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:
分?jǐn)?shù) | |||
滿意度指數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)證明: 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={1,2,3},集合B={x|a+1<x<6a﹣1},其中a∈R.
(1)寫出集合A的所有真子集;
(2)若A∩B={3},求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由大于0的自然數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an},它的最大項(xiàng)為26,其所有項(xiàng)的和為70;
(1)求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n;
(2)求此數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鋼廠打算租用, 兩種型號(hào)的火車車皮運(yùn)輸900噸鋼材, , 兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸,租金分別為1.6萬元/個(gè)和2.4萬元/個(gè),鋼廠要求租車皮總數(shù)不超過21個(gè),且型車皮不多于型車皮7個(gè),分別用, 表示租用, 兩種車皮的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)用, 列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)分別租用, 兩種車皮的個(gè)數(shù)是多少時(shí),才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知, , .
(1)求;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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