Question

3．設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax（x-2），若函數(shù)y=f（x）共有三個不同的零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式求出a，b，c的關(guān)系以及函數(shù)的解析式，求函數(shù)的極值，根據(jù)極值和零點的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c=3ax（x-2）=3ax²-6ax，
∴2b=-6a，c=0，即b=-3a，c=0，
則f（x）=ax³-3ax²+1，
①若a＞0，則由f′（x）=3ax（x-2）＞0得x＞2或x＜0，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，則函數(shù)在x=0時取得極大值f（0）=1，
在x=2時，函數(shù)取得極小值f（2）=8a-12a+1=1-4a，
若函數(shù)y=f（x）共有三個不同的零點，則f（2）=1-4a＜0，解得a＞$\frac{1}{4}$．
②若若a＜0，則由f′（x）=3ax（x-2）＜0得x＞2或x＜0，
由f′（x）＞0得0＜x＜2，則函數(shù)在x=0時取得極小值f（0）=1，
在x=2時，函數(shù)取得極大值f（2）=8a-12a+1=1-4a，
則此時函數(shù)y=f（x）只有1個零點，不滿足條件．
綜上a＞$\frac{1}{4}$，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．