Question

1．已知點(diǎn)A（2，3），B（1，1）和直線l₁：3x-4y+8=0，求
（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l₁平行的直線的方程；
（2）線段AB的垂直平分線的方程；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的夾角為$\frac{π}{3}$的直線方程；
（4）與直線l₁平行．且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l₁平行的直線的方程為 3x-4y+m=0，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求得m的值，可得所求的直線方程．
（2）先求得線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，直線AB的斜率，可得線段AB的垂直平分線的斜率，再用點(diǎn)斜式求得線段AB的垂直平分線的方程．
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的夾角為$\frac{π}{3}$的直線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或不存在，可得直線方程；
（4）與直線l₁平行的方程為3x-4y+c=0，令x=0，可得y=$\frac{c}{4}$，令y=0，可得x=-$\frac{c}{3}$，利用與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6，建立方程，即可求出直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l₁平行的直線的方程為 3x-4y+m=0，
把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得 3-4+m=0，求得 m=1，故所求的直線方程為3x-4y+1=0．
（2）線段AB的中點(diǎn)為（$\frac{3}{2}$，2），直線AB的斜率為$\frac{3-1}{2-1}$=2，
故線段AB的垂直平分線的斜率為-$\frac{1}{2}$，用點(diǎn)斜式求得線段AB的垂直平分線的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$），
即2x+4y-11=0．
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的夾角為$\frac{π}{3}$的直線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或不存在，方程為y-3=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）或x=2；
（4）與直線l₁平行的方程為3x-4y+c=0，令x=0，可得y=$\frac{c}{4}$，令y=0，可得x=-$\frac{c}{3}$，
∵與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6，
∴$\frac{1}{2}•|\frac{c}{4}|•|-\frac{c}{3}|=6$，
∴c=±12，
∴直線的方程為3x-4y±12=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求直線方程，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．