Question

15．從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP=$\sqrt{3}$，則球的體積為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 利用幾何圖形得出△ABC和△PAB為正三角形，根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)得出$\frac{OP}{OA}$=$\frac{AP}{A{O}^{′}}$，$\frac{A{O}^{′}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
再直角三角形的幾何性質(zhì)得出$\frac{A{O}^{′}}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$所以O(shè)A=$\frac{OP•{O}^{′}A}{AP}$整體求解即可，得出半徑求解球的體積．

解答 解：
連接OP交平面ABC于O′，
由題意可得：△ABC和△PAB為正三角形，
所以O(shè)'A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．因?yàn)锳O'⊥PO，OA⊥PA，
所以$\frac{OP}{OA}$=$\frac{AP}{A{O}^{′}}$，$\frac{A{O}^{′}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{A{O}^{′}}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以O(shè)A=$\frac{OP•{O}^{′}A}{AP}$=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
球的半徑為1，
故體積為$\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{4}{3}$π，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中兩點(diǎn)之間的距離，解決此類問題的方法是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力．