Question

10．設函數(shù)f（x）定義域為D，若存在非零實數(shù)t，使得對任意x∈M（M⊆D），都有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x）成立，則稱f（x）為M上的“t頻函數(shù)”．若f（x）=2x²為區(qū)間$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的“t頻函數(shù)”，則t的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)t頻函數(shù)的定義即可得到對于任意的x∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$，存在非零實數(shù)t使得2（x+t）²≥2x²成立，將該不等式整理成2tx+t²≥0，顯然需t＞0，所以需函數(shù)2tx+t²的最小值t²-t≥0，所以解出該不等式即得t的取值范圍．

解答 解：f（x）=2x²的定義域為R；
根據(jù)t頻函數(shù)的定義，存在非零實數(shù)t＞0，使得：
對任意的x∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$，都有x+t$∈[-\frac{1}{2}，+∞）$，且f（x+t）≥f（x）；
即2（x+t）²≥2x²在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立；
將該不等式整理成：2tx+t²≥0；
設g（x）=2tx+t²，
∵t＞0，∴g（x）=2tx+t²，為區(qū)間$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的增函數(shù)，
則g（$-\frac{1}{2}$）=t²-t是g（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的最小值；
∴t²-t≥0；
解得t≥1，或t≤0（舍去）；
∴實數(shù)t的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評 考查對t頻函數(shù)的理解，熟練掌握一次函數(shù)的圖象，及一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．