Question

15．在平面直角坐標系中，設M、N、T是圓C：（x-1）²+y²=4上不同三點，若存在正實數(shù)a，b，使$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，則$\frac{{a}^{3}+a^{2}+2ab+b+1}{a}$的取值范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意，圓的位置不影響向量的大小，可設$\overrightarrow{CT}$=（2cosθ，2sinθ），$\overrightarrow{CM}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{CN}$=（2cosβ，2sinβ），利用$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，可得cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a³+ab²=a（a²+b²）=a[1-2abcos（α-β）]＞a（1-2ab），即可得出結論．

解答 解：由題意，圓的位置不影響向量的大小，
可設$\overrightarrow{CT}$=（2cosθ，2sinθ），$\overrightarrow{CM}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{CN}$=（2cosβ，2sinβ），
∵$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，
∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，
平方相加，可得1=a²+b²+2abcos（α-β）＜（a+b）²，
∴a+b＞1，
∴a³+ab²=a（a²+b²）=a[1-2abcos（α-β）]＞a（1-2ab），
∴$\frac{{a}^{3}+a^{2}+2ab+b+1}{a}$＞$\frac{a-2{a}^{2}b+2ab+b+1}{a}$＞$\frac{2}{a}$＞2，
∴$\frac{{a}^{3}+a^{2}+2ab+b+1}{a}$的取值范圍為（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查向量知識的運用，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，有難度．