Question

9．設a為有理數(shù)，x為無理數(shù)，證明：
（1）a+x是無理數(shù)；
（2）當a≠0時，ax是無理數(shù)．

Answer 1

分析 利用反證法，結合任何有理數(shù)都可以表示為：$\frac{q}{p}$的形式，p，q都是整數(shù)；反過來也是一樣，任何形如$\frac{q}{p}$形式的數(shù)都是一樣，即可證明結論．

解答 證明：（1）任何有理數(shù)都可以表示為：$\frac{q}{p}$的形式，p，q都是整數(shù)；反過來也是一樣，任何形如$\frac{q}{p}$形式的數(shù)都是有理數(shù)．
因為a是有理數(shù)，所以a=$\frac{q}{p}$．
若a+x是有理數(shù)，那么：a+x=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{q′}{p′}$-a=$\frac{q′}{p′}$-$\frac{q}{p}$=$\frac{pq′-qp′}{pp′}$，
那么x也是有理數(shù)，這與x是無理數(shù)矛盾．
所以a+x是無理數(shù)；
2）若ax是有理數(shù)，ax=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{pq′}{qp′}$，那么x也是有理數(shù)，與x是無理數(shù)矛盾．
所以當a≠0時，ax是無理數(shù)．

點評 本題考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，正確運用反證法是關鍵．