Question

13．已知在三棱錐P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• B． 3π
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}π$
• D． 2π

Answer 1

分析 求出P到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC為截面圓的直徑，AC=$\sqrt{3}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+d²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-d）²，求出R，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=$\sqrt{3}$，
設球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，
∵PA=PB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴PA⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴P到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+d²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-d）²，
∴d=0，R²=$\frac{3}{4}$，
∴球的表面積為4πR²=3π．
故選：B．

點評 本題考查球的表面積，考查學生的計算能力，求出球的半徑是關鍵．