Question

點(diǎn)P是曲線x²-y-2ln

x

=0上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的最短距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,兩條平行直線間的距離

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意知，當(dāng)曲線上過(guò)點(diǎn)P的切線和直線4x+4y+1=0平行時(shí)，點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的距離最小．求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于-1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線4x+4y+1=0的距離即為所求．

解答： 解：點(diǎn)P是曲線y=x²-2ln

x

上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線和直線4x+4y+1=0平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的距離最�。�
直線4x+4y+1=0的斜率等于-1，
令y=x²-2ln

x

的導(dǎo)數(shù) y′=2x-

1

x

=-1，
解得，x=-1（舍去），或 x=

1

2

，
故曲線y=x²-2ln

x

上和直線4x+4y+1=0平行的切線
經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)（

1

2

，

1

4

+ln2），
則切點(diǎn)到直線4x+4y+1=0的距離等于

|4× 1 2 +4×( 1 4 +ln2)+1|

16+16

=

2

2

（1+ln2）．
故點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的最短距離為

2

2

（1+ln2）．
故答案為：

2

2

（1+ln2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查點(diǎn)到直線的距離，以及切線到直線的距離最短，屬于中檔題．