Question

3．已知數(shù)列{a_n}通項(xiàng)為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n=2k-1，k∈N*）}\\{{2}^{n}（n=2k，k∈N*）}\end{array}\right.$，求它的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 對(duì)n分類(lèi)討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n=2k-1，k∈N*）}\\{{2}^{n}（n=2k，k∈N*）}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n=2k時(shí)，S_n=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=${k}^{2}+\frac{4}{3}$（4^k-1）．
當(dāng)n=2k-1時(shí)，S_n=S_n-1+a_2k-1
=k²+$\frac{4}{3}（{4}^{k-1}-1）$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+\frac{4}{3}（{4}^{k}-1），n=2k}\\{{k}^{2}+\frac{4}{3}（{4}^{k-1}-1），n=2k-1}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．