Question

4．已知雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），且與y軸交于點(diǎn)M，則$\frac{|MB|}{|MA|}$的取值范圍為（1，7+4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線y=m-2x和雙曲線3x²-y²=3，消去y，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，求得m＞1，再由$\frac{|MB|}{|MA|}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），消去x₁，x₂，得到t的關(guān)系式，由不等式的解法即可得到t的范圍．

解答 解：聯(lián)立直線y=m-2x和雙曲線3x²-y²=3，
可得x²-4mx+3+m²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁＜x₂，
判別式為16m²-4（3+m²）＞0，解得m²＞1，
又x₁+x₂=4m＞0，x₁x₂=3+m²，①
可得m＞1．
又M（0，m），
設(shè)$\frac{|MB|}{|MA|}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），②
由①②可得$\frac{t}{（1+t）^{2}}$=$\frac{3+{m}^{2}}{16{m}^{2}}$，
由m＞1可得$\frac{1}{16}$＜$\frac{3+{m}^{2}}{16{m}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$，
解不等式$\frac{1}{16}$＜$\frac{t}{（1+t）^{2}}$＜$\frac{1}{4}$，可得：
7-4$\sqrt{3}$＜t＜7+4$\sqrt{3}$，由t＞1，可得：
1＜t＜7+4$\sqrt{3}$．
故答案為：（1，7+4$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)和解法，屬于中檔題．