Question

18．△ABC中，E是邊AC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$．
（1）若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，求x，y的值；
（2）已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$．再根據(jù)$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，求得x 和y的值．
（2）由題意可得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$ ）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，計(jì)算求的結(jié)果．

解答 解：（1）△ABC中，E是邊AC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$，故點(diǎn)D是BC的四等分點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$．
若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則x=-$\frac{3}{4}$，y=$\frac{1}{4}$．
（2）∵已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$ ）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{4}$•${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{3}{4}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}•16$+$\frac{3}{4}•4$-2•4•cos60°=3．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，屬于中檔題．