Question

13．已知f（x）=x²-2ax-1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求|f（x）|在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最大值；
（2）設(shè)|f（x）|在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最大值為M（a），求M（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|=|x²-2x-1|，可得函數(shù)在[0，1]遞增，[1，2]遞減，即有x=1取得最大值；
（2）由|f（x）|=|（x-a）²-1-a²|，可得函數(shù)|f（x）|在[0，a]遞增，在[a，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$]遞減，在（a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，+∞）遞增．對(duì)a討論，分當(dāng)a≥2時(shí)，$\frac{3}{4}$≤a＜2時(shí)，$\sqrt{6}$-2≤a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，0＜a＜$\sqrt{6}$-2時(shí)，討論單調(diào)性，可得最大值，再由一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，可得值域．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|=|x²-2x-1|，
可得函數(shù)在[0，1]遞增，[1，2]遞減，
即有x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，且為2；
（2）由|f（x）|=|（x-a）²-1-a²|，
可得函數(shù)|f（x）|在[0，a]遞增，在[a，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$]遞減，
在（a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，+∞）遞增．
當(dāng)a≥2時(shí)，|f（x）|的最大值為|f（2）|=|3-4a|=4a-3；
當(dāng)a＜2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，即$\frac{3}{4}$≤a＜2時(shí)，可得x=a時(shí)，取得最大值1+a²；
由a²+1=（x-a）²-1-a²，解得x=a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，
當(dāng)a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜2≤a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，即$\sqrt{6}$-2≤a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，可得x=a時(shí)，
取得最大值1+a²；
當(dāng)2＞a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，即0＜a＜$\sqrt{6}$-2時(shí)，可得x=2時(shí)，取得最大值為3-4a．
綜上可得，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-4a，0＜a＜\sqrt{6}-2}\\{1+{a}^{2}，\sqrt{6}-2≤a＜2}\\{4a-3，a≥2}\end{array}\right.$；
當(dāng)0＜a＜$\sqrt{6}$-2時(shí)，M（a）∈（11-4$\sqrt{6}$，3）；
當(dāng)$\sqrt{6}$-2≤a＜2時(shí)，M（a）∈[11-4$\sqrt{6}$，5）；
當(dāng)a≥2時(shí)，M（a）∈[5，+∞）．
綜上可得，M（a）的取值范圍是[11-4$\sqrt{6}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．