Question

8．已知a≤4x³+4x²+1對(duì)任意x∈[-2，1]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-15]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，15）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 a≤4x³+4x²+1對(duì)任意x∈[-2，1]都成立，轉(zhuǎn)化為三次多項(xiàng)式函數(shù)在區(qū)間上求最值的問題，可以分兩步操作：①求出f（x）=x³-3x²+2的導(dǎo)數(shù)，從而得出其單調(diào)性；②在單調(diào)減區(qū)間的左端求出函數(shù)的極小值或區(qū)間端點(diǎn)的較小函數(shù)值，得出所給函數(shù)的最小值，實(shí)數(shù)a要小于等于這個(gè)值．

解答 解：a≤4x³+4x²+1對(duì)任意x∈[-2，1]都成立，
設(shè)函數(shù)f（x）=4x³+4x²+1，x∈[-2，1]
求出導(dǎo)數(shù)：f′（x）=12x²+8x，由f′（x）=0得x=0或$-\frac{2}{3}$．
可得在區(qū)間（-2，$-\frac{2}{3}$）上f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
在區(qū)間（$-\frac{2}{3}$，0）上f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
（0，1）上f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
因此函數(shù)在閉區(qū)間[-2，1]上在x=$-\frac{2}{3}$處取得極大值f（$-\frac{2}{3}$），f（1）=9．
x=0時(shí)函數(shù)取得極小值，f（0）=1，f（-2）=-15是最小值．
所以實(shí)數(shù)a≤-15．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，處理不等式恒成立的問題時(shí)注意變量分離技巧的應(yīng)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算．