Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2ax+3a+2}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是[-3，1]．

Answer 1

分析 利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，直接由內(nèi)函數(shù)t=x²-2ax+3a+2在[1，+∞）上是增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于等于0求解a的取值范圍．

解答 解：令t=x²-2ax+3a+2，
∵$y={t}^{\frac{1}{2}}$為定義域內(nèi)的增函數(shù)，
∴要使復(fù)合函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2ax+3a+2}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則內(nèi)函數(shù)t=x²-2ax+3a+2在[1，+∞）上是增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于等于0．
則$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{1-2a+3a+2≥0}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤1．
故答案為：[-3，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．