Question

16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₉=a₈+2a₇，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 由a₉=a₈+2a₇，求出公比的值，利用存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，寫出m，n之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得到最小值，驗(yàn)證等號(hào)不成立后，進(jìn)一步取滿足條件的整數(shù)m，n求得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），
∵a₉=a₈+2a₇，
∴a₇q²=a₇q+2a₇，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴a₁q^m+n-2=16a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6，即$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}=1$，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）•（$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}$）
=$\frac{1}{6}+\frac{9}{6}+\frac{n}{6m}+\frac{9m}{6n}$=$\frac{5}{3}+\frac{n}{6m}+\frac{9m}{6n}≥\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{n}{6m}•\frac{9m}{6n}}$=$\frac{5}{3}+2×\frac{3}{6}=\frac{8}{3}$．
上式等號(hào)成立時(shí)，n²=9m²，即n=3m，而m+n=6，∴m=$\frac{3}{2}$，不成立，
∴m=1、n=5時(shí)，$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{14}{5}$；
∴m=2、n=4時(shí)，$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{11}{4}$．
∴最小值為$\frac{11}{4}$．
故答案為：$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式的性質(zhì)，是中檔題．