Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，M 為PD的中點(diǎn)，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a
（1）證明：DA⊥平面PAC；
（2）如果二面角M-AC-D的正切值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即知DA⊥AC，而PO⊥平面ABCD，從而DA⊥PO，從而由線面垂直的判定定理得到DA⊥平面PAC；
（2）分別取DO，AO中點(diǎn)為G，H，并連接MG，GH，MH，從而可說明∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角，根據(jù)該平面角的正切值為2即可求出a．

解答 解：（1）證明：由題意，∠ADC=45°，AD=AC=1，故∠DAC=90°；
即DA⊥AC；
又因 PO⊥平面ABCD，DA?平面ABCD；
所以，DA⊥PO，PO∩AC=O；
∴DA⊥平面PAC；
（2）如圖，連結(jié)DO，取DO中點(diǎn)G，連接MG，∵M(jìn)為PD中點(diǎn)，∴MG∥PO；
∴MG⊥底面ABCD，∴MG⊥AC；
同樣取AO中點(diǎn)H，連接GH，則GH⊥AC，連接MH；
則AC⊥MG，AC⊥GH，MG∩GH=G；
∴AC⊥平面MGH；
∴∠MHG即為二面角M-AC-D的平面角；
而$GH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}$，MG=$\frac{a}{2}$；
∴$tan∠MHG=\frac{MG}{GH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}}=2$；
故a=2．

點(diǎn)評(píng) 考查線面垂直的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等，線面垂直的判定定理，以及三角形中位線的性質(zhì)，二面角平面角的定義，正切函數(shù)的定義．