Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（sinx+cosx）^{2}-1}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$，方程f（x）=$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的解按從小到達(dá)的順序排成數(shù)列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=$\sqrt{3}$化為$sin2x=\sqrt{3}cos2x$，可得$sin（2x-\frac{π}{3}）$=0，x∈（0，+∞），于是2x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得即可得出；
（2）b_n=$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）π$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）方程f（x）=$\sqrt{3}$化為$sin2x=\sqrt{3}cos2x$，∴$sin（2x-\frac{π}{3}）$=0，x∈（0，+∞），
∴2x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴a_n=$\frac{3n-2}{6}π$．（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{3{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$=$\frac{π}{2（4{n}^{2}-1）}$=$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）π$，
∴S_n=π$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$（1-\frac{1}{2n+1}）π$
=$\frac{2nπ}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了兩角和差公式、數(shù)列“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．