Question

8．已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：DE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）證明一條直線與一個(gè)平面平行，只需要證明這條直線平行于這平面內(nèi)的一條直線即可，連接AC，與BD交于O，再連接OE，證明OE平行AP即可得到PA∥平面EDB；
（2）證明一條直線與一個(gè)平面垂直，可以通過面面垂直，垂直交線的直線垂直另外一個(gè)平面．或者直線垂直這平面內(nèi)的兩條相交直線．證明平面PCD和平面PBC垂直，DE垂直交線，就能得到DE⊥平面PBC．

解答 解：（1）證明：連接AC，與BD交于O，再連接OE．
∵ABCD是正方形，
∴O是正方形的中心．
在△PAC中，E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴AP∥OE，
又∵OE?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
得證．
（2）證明：取DC的中點(diǎn)F，連接PF，PF⊥DC，
∵平面PDC⊥底面ABCD，ABCD是正方形，DC⊥BC，
 DC是平面PDC與底面ABCD的交線，
∴BC⊥平面PDC．
所以：平面PDC⊥平面BCP．
PC是平面PDC與平面BCP的交線，PDC為正三角形，E為PC的中點(diǎn)，
∴DE⊥PC．
又∵DE?平面PDC
∴DE⊥平面PBC．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了證明一條直線與一個(gè)平面平行和一條直線與一個(gè)平面垂直的證明方法．要靈活運(yùn)用已知條件去作輔助線，是解決空間立體幾何證明的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．