Question

12．如圖，在正方形ABCD-A′B′C′D′，AB=1，
（1）求異面直線AD′與DC′所成的角；
（2）求證：A′B∥平面ACD′；
（3）求V_A-CDD′．

Answer 1

分析 （1）連接BC′，則BC′∥AD′，∠BC′D是異面直線AD′與DC′所成的角；
（2）證明四邊形A′BCD′為平行四邊形．推出A′B∥CD’，然后證明A′B∥平面ACD′，
（3）直接利用體積公式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：連接BC′，則BC′∥AD′，
∴∠BC′D是異面直線AD′與DC′所成的角，
∵BD=DC′=C′B，
∴∠BC′D=60°，
∴異面直線AD′與DC′所成的角為60°；
（2）證明：∵A′D∥′BC，且A′D=B′C
∴四邊形A′BCD′為平行四邊形．
∴A′B∥CD′，
又∵A′B?平面ACD′，CD′?平面ACD′
∴A′B∥平面ACD′；
（3）解：V_A-CDD′=$\frac{1}{3}$S_△CDD′•AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行，異面直線AD′與DC′所成的角，三棱錐體積的計算，考查空間想象能力，邏輯推理能力．