Question

20．已知函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞增，$f（\frac{1}{3}）=0$，已知g（x）=-f（|x|），滿足$g（{log_{\frac{1}{8}}}x）＞0$的x的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． $（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$
• C． $（0，\frac{1}{8}）∪（\frac{1}{2}，2）$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件先判斷函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性和取值，判斷g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：∵g（x）=-f（|x|），
∴g（-x）=-f（|-x|）=-f（|x|）=g（x），
故g（x）是偶函數(shù)，
且g（$\frac{1}{3}$）=-f（$\frac{1}{3}$）=0，g（-$\frac{1}{3}$）=-f（|-$\frac{1}{3}$|）=-f（$\frac{1}{3}$）=0，
當x≥0是，f（x）為增函數(shù)，此時g（x）=-f（|x|）=-f（x）為減函數(shù)，
則不等式$g（{log_{\frac{1}{8}}}x）＞0$等價為g（|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|）＞g（$\frac{1}{3}$），
即|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|＜$\frac{1}{3}$，
即-$\frac{1}{3}$＜log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＜$\frac{1}{3}$，
即$-\frac{1}{2}$＜x＜2，
故選：D．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵．