Question

19．在數(shù)列{a_n]中a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．記b_n=a_n-n+1．
（Ⅰ）計(jì)算b₁，b₂，b₃，b₄，并寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n（不需要說明理由）；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₁=1、a_n+1=2a_n-n+2，可得a₂、a₃、a₄的值，再代入b_n=a_n-n+1中，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過b_n=2^n-1、b_n=a_n-n+1可知a_n=n-1+2^n-1，進(jìn)而S_n=[0+1+2+…+（n-1）]+（2⁰+2¹+…+2^n-1），計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．
∴a₂=2a₁-1+2=2-1+2=3，
a₃=2a₂-2+2=6-2+2=6，
a₄=2a₃-3+2=12-3+2=11，
∵b_n=a_n-n+1，
∴b₁=a₁-1+1=1-1+1=1，
b₂=a₂-2+1=3-2+1=2，
b₃=a₃-3+1=6-3+1=4，
b₄=a₄-4+1=11-4+1=8，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=2^n-1，b_n=a_n-n+1，
∴a_n=n-1+b_n=n-1+2^n-1，
∴S_n=0+2⁰+1+2¹+2+2²+…+（n-1）+2^n-1
=[0+1+2+…+（n-1）]+（2⁰+2¹+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．