Question

11．如圖，在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，D為AC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）當(dāng)AB=$\sqrt{2}$AA₁時(shí)，求證：AB₁⊥BC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，由已知得OD∥AB₁，由此能證明AB₁∥平面DBC₁．
（Ⅱ）分別取AB，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，EG，找到AB₁與BC₁所成的角，通過解三角形得到EF⊥FG即可．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中點(diǎn)，
又D是AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB₁，
∵OD?平面DBC₁，AB₁?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（Ⅱ）分別取AB，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則EF∥AB₁，F(xiàn)G∥BC₁，
所以∠EFG為AB₁與BC₁所成的角，
在直角三角形EBF中，EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
在直角三角形FB₁G中，F(xiàn)G=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
取BC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH⊥平面ABC，GH⊥HE，
在直角三角形GHE中，EG=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}+{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
在△EFG中，因?yàn)镋F²+FG²=EG²，所以∠EFG=90°，所以EF⊥FG，所以AB₁⊥BC₁．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面平行的判定和異面直線所成的角的求法；解答的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)線線問題解答．