Question

1．過點(diǎn)Q（-1，-1）作已知直線l：y=$\frac{1}{4}$x+1的平行線．交雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1于點(diǎn)M，N．
（1）證明：點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)．
（2）分別過點(diǎn)M，N作雙曲線的切線l₁，l₂，證明：三條直線l，l₁，l₂相交于同-點(diǎn)．
（3）設(shè)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作雙曲線的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B．證明：點(diǎn)Q在直線AB上．

Answer 1

分析 （1）求出平行線MN的方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得證；
（2）對(duì)雙曲線的方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，求得切線的斜率，求得切線的方程，再由共點(diǎn)的直線系方程，即可得證；
（3）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，求得切線的方程，由兩點(diǎn)確定一條直線，求得切點(diǎn)弦方程，代入Q，即可得證．

解答 證明：（1）由題意可得直線MN：y+1=$\frac{1}{4}$（x+1），
即y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
代入雙曲線的方程可得，3x²+6x-25=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-2，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q為MN的中點(diǎn)；
（2）由（1）可得x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-2，
對(duì)$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得
$\frac{1}{2}$x-2yy′=0，
即有M處的切線的斜率為$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
即有M處的切線的方程為y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-y₁²=1，
可得M處的切線的方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}$-y₁y=1，①
同理可得N處的切線方程為$\frac{{x}_{2}x}{4}$-y₂y=1，②
由①+②可得，$\frac{x（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$-（y₁+y₂）y=2，
化簡(jiǎn)為y=$\frac{1}{4}$x+1，
由共點(diǎn)的直線系方程，
可得三條直線l，l₁，l₂相交于同-點(diǎn)；
（3）設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得A處的切線的方程為$\frac{{x}_{3}x}{4}$-y₃y=1，
B處的切線方程為$\frac{{x}_{4}x}{4}$-y₄y=1，
設(shè)P（m，1+$\frac{m}{4}$），
即有$\frac{m}{4}$x₃-y₃（1+$\frac{m}{4}$）=1，
$\frac{m}{4}$x₄-y₄（1+$\frac{m}{4}$）=1，
由兩點(diǎn)A，B確定一條直線，可得
AB的方程為有$\frac{m}{4}$x-y（1+$\frac{m}{4}$）=1，
代入Q（-1，-1），可得-$\frac{m}{4}$+1+$\frac{m}{4}$=1．
即有Q在直線AB上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和雙曲線相切，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出斜率，考查直線方程的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．