Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，-1），$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（2t²+3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow$，k，t為正實(shí)數(shù)，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，則k的最小值為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積運(yùn)算，求出k的解析式，再利用基本不等式即可求出k的最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（2t²+3）$\overrightarrow$=（1，-2t²-3），
$\overrightarrow{n}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow$=（-k，-$\frac{1}{t}$）；
又$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-k+$\frac{1}{t}$（2t²+3）=0，
∴k=$\frac{1}{t}$（2t²+3）=2t+$\frac{3}{t}$≥2$\sqrt{2t•\frac{3}{t}}$=2$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)“=”成立，
∴k的最小值為2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．